REMIDI MATEMATIKA, PELUANG

Bab VII : Pengantar Peluang (Probabilitas)

A. Pengertian Probabilitas

Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, di antara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi. Probabilitas dilambangkan dengan P.

• Contoh 1: Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H & T) kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah ½.
• Contoh 2: Sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6).

Rumus :

P (E) = X/N

P: Probabilitas

E: Event (Kejadian)

X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)

N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

Probabilitas yang rendah menunjukkan kecilnya kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Suatu probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam presentase.  Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi.

Ada tiga hal penting dalam probabilitas, yaitu:

1. Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.
2. Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.
3. Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

B. Manfaat Probabilitas dalam Peneitian

Manfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain:

• Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat.
• Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi.
• Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasil  penelitian dari suatu populasi.

C. Pendekatan Probabilitas

Ada 3 (tiga) pendekatan konsep untuk mendefinisikan probabilitas dan menentukan nilai-nilai probabilitas, yaitu : (1). Pendekatan Klasik, (2). Pendekatan Frekuensi Relatif, dan (3). Pendekatan Subyektif.

1. Pendekatan Klasik

Pendekatan klasik didasarkan pada sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi sama besar (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai suatu rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil).

Probabilitas suatu peristiwa = Jumlah kemungkinan hasil / Jumlah total kemungkinan hasil

Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas/peluang bahwa akan terjadi a adalah:

P (A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah:  P (A) = b/a+b

Contoh:

Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?

Jawab:
P (A) = 15/10+15 = 3/5

2. Pendekatan Relatif
Besarnya probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. probabilitas dapat dinyatakan sebagai berikut :

Probabilitas kejadian relatif = Jumlah peristiwa yang terjadi / Jumlah total percobaan atau kegiatan

Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah: P (A) = a/N

Contoh:

Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?

Jawab:
P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80

3. Pendekatan Subjektif
Besarnya suatu probabilitas didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh dan berdasarkan keyakinan.

D. Konsep Dasar dan Hukum Probabilitas

Dalam mempelajari hukum dasar probabilitas berturut-turut akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian.

1. Hukum Penjumlahan

Hukum penjumlahan menghendaki peristiwa saling lepas (mutually exclusive) dan peristiwa/kejadian bersama (non mutually exclusive).

• Saling meniadakan (mutually exclusive)

Apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.
Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan:

P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)

Contoh:
Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:
P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6

• Kejadian Bersama (Non Mutually Exclusive)

Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint) dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama).
Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan:

Dua Kejadian

P (A U B) =P(A) + P (B) – P(A ∩ B)

Tiga Kejadian

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan peristiwa B. Akan tetapi karena ada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, Gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwa di mana A dan B memiliki elemen yang sama. Dengan demikian, probabilitas pada keadaan di mana terdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan B maka probabilitas A atau B adalah probabilitas A ditambah probabilitas B dan dikurangi probabilitas elemen yang sama dalam peristiwa A dan B.

• Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)

Apabila peristiwa A dan B saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi.  Peristiwa A dan B         dikatakan sebagai peristiwa komplemen.
Rumus untuk kejadian-kejadian yang saling melengkapi :

P(A)+P(B) = 1 atau P(A) = 1 – P(B)

2. Hukum Perkalian

• Hukum Bebas (independent)
  Hukum perkalian menghendaki setiap peristiwa adalah independen, yaitu  suatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi. Peristiwa A dan B independen, apabila peristiwa A terjadi tidak menghalangi terjadinya peristiwa B.

P(A ∩ B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)

Contoh soal 1:
Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:
P (5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36
Contoh soal 2:

Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:

P (H) = ½, P (3) = 1/6
P (H ∩ 3) = ½ x 1/6 = 1/12

• Peristiwa Bersyarat (Tidak Bebas) / (Conditional Probability)
  Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi. Peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi.

P(A dan B) = P(A x P(B|A) atau P(B dan A) = P(B) x P(A|B)

Contoh :
Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai berikut: Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52
Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51
P (as II │as I) = 3/51
P (as I ∩ as II) = P (as I) x P (as II│ as I) = 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/221

E. Diagram Pohon Probabilitas

Diagram pohon merupakan suatu diagram yang menyerupai pohon dimulai dari batang kemudian menuju ranting dan daun. diagram pohon dimaksudkan untuk membantu menggambarkan probabilitas atau probabilitas bersyarat dan probabilitas bersama. diagram pohon sangat berguna untuk menganalisis keputusan-keputusan bisnis dimana terdapat tahapan-tahapan pekerjaan.

Contoh:

F. Ruang Sampel dan Titik Sampel

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian. Ruang Sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.

Titik Sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.

Contoh:

Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang berisi angka (A) dan gambar (G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut.

a. Dengan Diagram Pohon

Kejadian yang mungkin:

AA : Muncul sisi angka pada kedua koin

AG : Muncul sisi angka pada koin 1 dan sisi gambar pada koin 2

b. Dengan Tabel

Ruang sampel = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}

Banyak titik sampel ada 4 yaitu (A,A), (A,G), (G,A), dan (G,G)

G. Teorema Bayes

Dalam teori probabilitas dan statistika, teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda. Dalam penafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru. Dalam penafsiran frekuentis teorema ini menjelaskan representasi invers probabilitas dua kejadian. Teorema ini merupakan dasar dari statistika Bayes dan memiliki penerapan dalam sains, rekayasa, ilmu ekonomi (terutama ilmu ekonomi mikro), teori permainan, kedokteran dan hukum. Penerapan teorema Bayes untuk memperbarui kepercayaan dinamakan inferens Bayes.

atau

H. Prinsip Menghitung

1. Faktorial
Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu. Hasil perkalian semua bilangan bulat positif secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial. Dari definisi faktorial tersebut, maka dapat dituliskan prinsip menghitung faktorial sebagai berikut :

n ! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … 3 x 2 x 1

n ! dibaca n faktorial

nb: 0! = 1dan 1! = 1

Contoh:

3! = 3 x 2 x 1 = 6
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2. Permutasi
Permutasi digunakan untuk mengetahui jumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat satu kelompok objek. pada permutasi berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek. Permutasi dirumuskan sebagai berikut :

atau

dimana :

P = Jumlah permutasi atau cara objek disusun
n = jumlah total objek yang disusun
r/k = jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r/k dapat sama dengan  n atau lebih kecil

! = tanda dari faktorial

Contoh:

Di kantor pusat DJBC Ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk menjadi mengisi kekosongan 2 kursi pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?

jawab : Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)

Permutasi Unsur-unsur  yang sama

Contoh:

Tentukan permutasi atas semua unsur yang dibuat dari kata MATEMATIKA!

Jawab: pada kata MATEMATIKA terdapat 2 buah M, 3 buah A, dan 2 buah T yang sama, sehingga permutasinya adalah:

Permutasi Siklis

RUMUS: banyaknya permutasi = (n-1)!

Contoh:

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

3. Kombinasi

Kombinasi digunakan apabila ingin mengetahui berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya. Jumlah kombinasi dirumuskan sebagai berikut:

Contoh:

Saat akan menjamu Bayern Munchen di Allianz arena, Antonio Conte (Pelatih Juventus) punya 20 pemain yang akan dipilih 11 diantaranya untuk jadi starter. Berapa banyak cara pemilihan starter tim juventus? (tidak memperhatikan posisi pemain).

Read More

Tony Q Rastafara, Misteri Kehidupan

lepaskan masa lajang
yang penuh dengan pesona
menyikapi waktu
menerima kenyataan

kindahan dunia
misteri kehidupan
doa restu cinta
iringi dijalan tuhan

membuat(berikrar) janji
sehidup semati
dua belahan jiwa
menyatu bersama

menyatu bahagia.....

Read More

Kata Bijak

Ketika seseorang berusaha menjauhi hidupmu, biarkanlah. Kepergian dia hanya membuka pintu bagi seseorang yang lebih baik tuk masuk. Kadang masalah adalah sahabat terbaikmu. Mereka buatmu jadi lebih kuat, dan buatmu menempatkan Tuhan di sisimu yang paling dekat. Jangan yakinkan diri bahwa dia menyukaimu, hanya karena dia bersikap manis padamu. Kadang kamu hanya sebuah pilihan ketika dia bosan. Jangan pernah meremehkan diri sendiri. Jika kamu tak bahagia dengan hidupmu, perbaiki apa yang salah, dan teruslah melangkah. Jangan membenci mereka yang mengatakan hal buruk tuk menjatuhkanmu, karena merekalah yang buatmu semakin kuat setiap hari. Terkadang, kamu berpikir seseorang telah berubah tanpa kamu menyadari hal itu terjadi karena dia mulai bersikap dewasa. Sesuatu yang menyenangkan bagaimana seseorang mampu membuatmu tersenyum, hanya dengan memikirkan dirinya. Happy Jadi dirimu sendiri agar ketika seseorang mencintai, kamu tak perlu takut jika dia akan temukan dirimu bukan orang yang ingin dia cintai. Perasaan yang paling berbahaya adalah iri, karena iri hati melahirkan kebencian dan kebencian akan membunuhmu perlahan. Tak peduli seperti apa hidupmu, kamu selalu punya pilihan untuk melihat dari sisi baiknya atau sisi buruknya. Hanya karena seseorang terlihat kuat di hadapanmu, tak berarti dia bisa begitu kuat ketika tanpamu. Jangan selalu katakan "masih ada waktu" atau "nanti saja". Lakukan segera, gunakan waktumu dengan bijak. Hidup terlalu singkat jika hanya menyesal. Hidup hanya sekali, namun jika digunakan dengan baik, sekali saja cukup! Hidup ini bukan hanya mencari yang terbaik, namun lebih kepada menerima kenyataan bahwa kamu adalah kamu. Jadi dirimu sendiri. Orang yang bijak adalah yang tahu siapa yang harus dia percaya. Orang yang lebih bijak adalah dia yang selalu bisa dipercaya. Sadarilah, mengeluh tidak menyelesaikan apapun. Mengeluh hanya akan menambah beban dihati. Berhentilah mengeluh, segera bertindak! Jangan jadikan kegagalan kemarin sebagai penghambat hari ini. Semangat untuk membuat hari esok lebih baik, melalui hari ini. Perbuatan adalah cerminan isi hati. Jika hati dipenuhi kebaikan, maka sikap dan tindakan akan baik, pun sebaliknya. DMCA Protection on: http://www.lokerseni.web.id/2013/09/kata-kata-Bijak.html#ixzz2koU0drC9

Read More

Surat Cinta, Vina Panduwinata

Hari ini kugembira Melangkah di udara Pak pos membawa berita Dari yang kudamba Sepucuk surat yang manis Warnanya pun merah hati Bagai bingkisan pertama Tak sabar kubuka Satu dua dan tiga Kumulai membaca Surat cintaku yang pertama Membikin hatiku berlomba Seperti melody yang indah Kata-kata cintanya Surat cintaku yang pertama Membikin hatiku berlomba Seperti melody yang indah Kata-kata cintanya padaku

Read More

TONY Q RASTAFARA feat SKOP "Nyantai"

semua kecewa
semua gelisah
yang ada di dalama dada
dan menyiksa
kita lupakan
kita nyakai walau untuk sementara
di sini bernyanyi hilangkan semua perih
balut luka hati nikmati hidup ini
di sini menari bersama kita berbagi
kita terbang tinggi damaikan hati ini
semua manusia
pasti punya masalah dan punya kendala
jadi beban
tapi kutak sendiri masih banyak teman-teman untukku berbagi
banyak cobaan
didalam hidup ini yang harus di hadapi
ooh yayaya
ga usah di pikirkan
ga usah di risaukan
percumaaaa....!!!!

Read More

TONY Q RASTAFARA "Lukisan Jiwa

merah kuning hijau biru, putih serta lainnya
berdampingan lahirkan harmoni
menyatu dalam bingkai ungkapan nurani, menghadirkan keindahan

lukiskan jiwa kita tak akan terpisah
lukiskan cinta harapan setiap insan

damai dengan cinta damailah jiwa
damai dengan cinta damailah kita
ooooh,...
nanananaananananana.....
nanananananaananana.....

Read More

Manusia Bodoh, Ada Band

Dahulu terasa indah

 Tak ingin lupakan

 Bermesraan s'lalu jadi satu

 Kenangan manis
Tiada yang salah

 Hanya aku manusia bodoh

 Yang biarkan semua ini permainkanku

 Berulang ulang ulang kali

Mencoba bertahan sekuat hati 

Layaknya karang yang

 Dihempas sang ombak

 Jalani hidup dalam buai belaka

 Serahkan cinta tulus di dalam takdir
Tak ayal tingkah lakumu 

Buatku putus asa 

Kadang akal sehat ini

 Belum cukup membendungnya
Hanya kepedihan 

Yang s'lalu datang menertawakanku

 Engkau belahan jiwa

 Tega menari indah di atas tangisanku
Tapi sampai kapankah ku harus

 Menanggungnya kutukan cinta ini

Semua kisah pasti ada akhir

 Yang harus dilalui 

Begitu juga akhir kisah ini yakinku indah
Tapi sampai kapankah ku harus 

Menanggungnya kutukan cinta ini

 Bersemayam dalam kalbu 

  

Read More